ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล (อังกฤษ: Orbital angular momentum)

ในทางกลศาสตร์แบบดั้งเดิม โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค คือ

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

โดยที่ p คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงเส้น และ r คือ ตัวดำเนินการตำแหน่งของอนุภาค และ L คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล

ในกรณีที่อนุภาคไม่มีประจุไฟฟ้าและสปิน สามารถเขียนให้ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัลอยู่ในรูปของ r ได้ ดังนี้

$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล คือ ตัวดำเนินการเวกเตอร์ ซึ่งเราสามาราถเขียนให้อยู่ในรูปขององค์ประกอบของเวกเตอร์ได้ $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$ โดยมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของโมเมนตัมเชิงมุมดังนี้

$\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},$ (วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม)

โดย [ , ] คือ สัญลักษณ์การเปลี่ยนกลุ่ม

$[X,Y]\equiv XY-YX.$

รูปทั่วไป คือ

$\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}$,